如何通俗易懂地解释卷积？

  卷积这个概念，很早以前就学过，但是始终没搞懂。教科书上通常会给出定义，给出很多性质，也会用实例和图形进行解释，但究竟为何需要这么设计，这么计算，背后的意义是什么，往往语焉不详。作为一个学物理出身的人，一个公式倘若倘若给不出结合实际的直观的通俗的解释（也就是背后的“物理”意义），就觉得少了点什么，觉得不是真的懂了。

  并且也解释了，先对g函数进行翻转，相当于在数轴上把g函数从右边褶到左边去，也就是卷积的“卷”的由来。

  然后再把g函数平移到n，在这一个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这样的一个过程是卷积的“积”的过程。

  这个只是从计算的方式上对公式进行了解释，从数学上讲无可挑剔，但进一步追问，为何需要先翻转再平移，这么设计有何用意？还是有点费解。

  在知乎，已经很多的热心网友对卷积举了很多形象的例子进行了解释，如卷地毯、丢骰子、打耳光、存钱等等。读完觉得非常生动有趣，但过细想想，还是感觉有些地方还是没解释清楚，甚至有可能还有瑕疵，或者还可以改进（这些后面我会做一些分析）。

  带着问题想了两个晚上，终于觉得有些问题想通了，所以就写出来跟网友分享，一同学习提高。不对的地方欢迎评论拍砖。。。

  一个输入信号f(t)，经过一个线性系统（其特征可以用单位冲击响应函数g(t)描述）以后，输出信号应该是什么？实际上通过卷积运算就能够获得输出信号。

  输入一幅图像f(x,y)，经过特定设计的卷积核g(x,y)进行卷积处理以后，输出图像将会得到模糊，边缘强化等各种效果。

  对卷积这个名词的理解：所谓两个函数的卷积，本质上是先将一个函数翻转，接着进行滑动叠加。

  在连续情况下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情况下就是加权求和，为简单起见就统一称为叠加。

  翻转——>

  滑动——>

  叠加——>

  滑动——>

  叠加——>

  滑动——>

  叠加.....

  卷积的“卷”，指的的函数的翻转，从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程；同时，“卷”还有滑动的意味在里面（吸取了网友李文清的建议）。如果把卷积翻译为“褶积”，那么这个“褶”字就只有翻转的含义了。

  有些文章只强调滑动叠加求和，而没有说函数的翻转，我觉得是不全面的；有的文章对“卷”的理解其实是“积”，我觉得是张冠李戴。

  1. 从“积”的过程能够正常的看到，我们得到的叠加值，是个全局的概念。以信号分析为例，卷积的结果是不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关，也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。在图像处理的中，卷积处理的结果，实际上的意思就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。所以说，“积”是全局概念，或是说一种“混合”，把两个函数在时间或者空间上进行混合。

  2. 那为何需要进行“卷”？直接相乘不好吗？我的理解，进行“卷”（翻转）的目的其实是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。在信号分析的场景，它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”，在空间分析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。

  如下图所示，输入信号是 f(t) ，是随时间变化的。系统响应函数是 g(t) ，图中的响应函数是随时间指数下降的，它的物理意义是说：如果在 t=0 的时刻有一个输入，那么跟着时间的流逝，这个输入将不断衰减。换言之，到了 t=T时刻，原来在 t=0 时刻的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)。

  考虑到信号是连续输入的，也就是说，每个时刻都有新的信号进来，所以，最终输出的是所有之前输入信号的累积效果。如下图所示，在T=10时刻，输出结果跟图中带标记的区域整体有关。其中，f(10)因为是刚输入的，所以其输出结果应该是f(10)g(0)，而时刻t=9的输入f(9)，只经过了1个时间单位的衰减，所以产生的输出应该是 f(9)g(1)，如此类推，即图中虚线所描述的关系。这些对应点相乘然后累加，就是T=10时刻的输出信号值，这个结果也是f和g两个函数在T=10时刻的卷积值。

  显然，上面的对应关系看上去比较难看，是拧着的，所以，我们把g函数对折一下，变成了g(-t)，这样就好看一些了。看到了吗？这就是为什么卷积要“卷”，要翻转的原因，这是从它的物理意义中给出的。

  上图虽然没有拧着，已经顺过来了，但看上去还有点错位，所以再进一步平移T个单位，就是下图。它就是本文开始给出的卷积定义的一种图形的表述：

  所以，在以上计算T时刻的卷积时，要维持的约束就是：t+ (T-t) = T  。这种约束的意义，你们可以自己体会。

  在本问题 如何通俗易懂地解释卷积？中排名第一的马同学在中举了一个很好的例子（下面的一些图摘自马同学的文章，在此表示感谢），用丢骰子说明了卷积的应用。

  要解决的问题是：有两枚骰子，把它们都抛出去，两枚骰子点数加起来为4的概率是多少?

  分析一下，两枚骰子点数加起来为4的情况有三种情况：1+3=4， 2+2=4, 3+1=4

  首先，因为两个骰子的点数和是4，为满足这个约束条件，我们仍旧是把函数 g 翻转一下，然后阴影区域上下对应的数相乘，然后累加，相当于求自变量为4的卷积值，如下图所示：

  进一步，如此翻转以后，可以方便地进行推广去求两个骰子点数和为 n 时的概率，为f 和 g的卷积 f*g(n)，如下图所示：

  由上图能够正常的看到，函数 g 的滑动，带来的是点数和的增大。这个例子中对f和g的约束条件就是点数和，它也是卷积函数的自变量。有兴趣还可以算算，如果骰子的每个点数出现的概率是均等的，那么两个骰子的点数和n=7的时候，概率最大。

  还是引用知乎问题 如何通俗易懂地解释卷积？中马同学的例子。图像可以表示为矩阵形式（下图摘自马同学的文章）：

  对图像的处理函数（如平滑，或者边缘提取），也可以用一个g矩阵来表示，如：

  然后将图像处理矩阵翻转（这个翻转有点意思，不是延x轴和y轴两个方向翻转，而是沿右上到左下的对角线翻转，这是为了凑后面的内积公式。），如下：

  请注意，以上公式有一个特点，做乘法的两个对应变量a,b的下标之和都是（u,v），其目的是对这种加权求和进行一种约束。这也是怎么回事要将矩阵g进行翻转的原因。以上矩阵下标之所以那么写，并且进行了翻转，是为了让大家更清楚地看到跟卷积的关系。这样做的好处是便于推广，也便于理解其物理意义。实际在计算的时候，都是用翻转以后的矩阵，直接求矩阵内积就可以了。

  以上计算的是（u,v）处的卷积，延x轴或者y轴滑动，就可以求出图像中各个位置的卷积，其输出结果是处理以后的图像（即经过平滑、边缘提取等各种处理的图像）。

  再深入思考一下，在算图像卷积的时候，我们是直接在原始图像矩阵中取了（u,v）处的矩阵，为何需要取这个位置的矩阵，本质上其实是为满足以上的约束。因我们要算（u，v）处的卷积，而g矩阵是3x3的矩阵，要满足下标跟这个3x3矩阵的和是（u,v），只能是取原始图像中以（u，v）为中心的这个3x3矩阵，即图中的阴影区域的矩阵。

  推而广之，如果如果g矩阵不是3x3，而是6x6，那我们要在原始图像中取以（u，v）为中心的6x6矩阵进行计算。由此可见，这种卷积就是把原始图像中的相邻像素都考虑进来，进行混合。相邻的区域范围取决于g矩阵的维度，维度越大，涉及的周边像素越多。而矩阵的设计，则决定了这种混合输出的图像跟原始图像比，究竟是模糊了，还是更锐利了。

  比如说，如下图像处理矩阵将使得图像变得更加平滑，显得更模糊，因为它联合周边像素进行了平均处理：

  而如下图像处理矩阵将使得像素值变化明显的地方更明显，强化边缘，而变化平缓的地方没有影响，达到提取边缘的目的：

  上面一些对卷积的形象解释，如知乎问题 卷积为什么叫「卷」积？中荆哲以及问题 如何通俗易懂地解释卷积？中马同学等人提出的如下比喻：

  其实图中“卷”的方向，是沿该方向进行积分求和的方向，并无翻转之意。因此，这种解释，并没有完整描述卷积的含义，对“卷”的理解值得商榷。

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